临界长程随机热方程的时依空间平均

我们研究临界随机偏微分方程的时依空间平均，即维数 $d\ge 3$ 中时间白噪声、空间彩色噪声（协方差核为 $\|\cdot\|^{-2}$）的随机热方程。该 SPDE 的解是一个奇异测度，由 Mueller 和 Tribe 在 [MT04] 中构造。我们证明，在半径为 $R$ 的球上、时刻 $t$ 的时依空间平均在不同的时空尺度下有不同的极限。特别地，当 $t\ll R^2$ 时，中心极限定理成立；当 $t=R^2$ 时，空间平均是一个非高斯随机变量；当 $t\gg R^2$ 时，空间平均趋于灭绝。