非线性随机热方程时间相关平均的极限定理

我们研究形如 $X_t:=\frac{1}{2L(t)}\int_{-L(t)}^{L(t)} u(t, x) \, dx$ 的时间相关平均的极限定理，当 $t\to \infty$ 时，其中 $L(t)=\exp(\lambda t)$ 且 $u(t, x)$ 是在 $\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}$ 上由时空白噪声驱动、且对所有 $x\in \mathbb{R}$ 有 $u_0(x)=1$ 的随机热方程的解。我们证明对于 $X_t$：（i）当 $\lambda>\lambda_1$ 时弱大数定律成立，（ii）当 $\lambda>\lambda_2$ 时强大数定律成立，（iii）当 $\lambda>\lambda_3$ 时中心极限定理成立，但当 $\lambda <\lambda_4\leq \lambda_3$ 时失效，（iv）当 $\lambda>\lambda_5$ 时定量中心极限定理成立，其中 $\lambda_i$ 为依赖于 $u(t, x)$ 的矩Lyapunov指数的正常数。