非线性随机热方程系统的局部时

我们考虑 $u(t,x)=(u_1(t,x),\cdots,u_d(t,x))$ 为一维空间中由 $d$ 维时空白噪声驱动的非线性随机热方程系统的解。我们证明,当 $d\leq 3$ 时, $\{u(t,x)\,,\;t\in[0,T]\}$ 的局部时 $L(\xi,t)$ 存在,且 $L(\bullet,t)$ 几乎必然属于 Sobolev 空间 $H^{\alpha}(\mathbb{R}^d)$（$\alpha<\frac{4-d}{2}$）；当 $d\geq 4$ 时,局部时不存在。我们还展示了联合连续性,并建立了 $\{u(t,x)\,,\;t\in[0,T]\}$ 局部时的 H"{o}lder 条件。这些结果随后被用于研究 $\{u(t,x)\,,\;t\in[0,T]\}$ 坐标函数的不规则性。与针对线性随机热方程（即解为高斯过程）所得的类似结果相比,我们认为我们的结果是尖锐的。最后,我们得到了 $(u(t_1,x)-u(t_0,x),\cdots,u(t_n,x)-u(t_{n-1},x))$ 联合密度偏导数的一个尖锐估计,这是一项新结果且具有独立意义。