柯西变换与泊松方程

设$u\in W^{2,p}_0$, $1\le p\le \infty$是单位圆盘内泊松方程$\Delta u = h$, $h\in L^p$的解。证明了对$p=1$和$p=\infty$，$\|\nabla u\|_{L^p} \le a_p\|h\|_{L^p}$具有精确常数$a_p$；对$p=1$, $p=2$和$p=\infty$，$\|\partial u\|_{L^p} \le b_p\|h\|_{L^p}$具有精确常数$b_p$。此外，还证明了对$p>2$，$||\partial u||_{L^\infty}\le c_p\Vert h\Vert_{L^p}$和$||\nabla u||_{L^\infty}\le C_p\Vert h\Vert_{L^p}$，具有精确常数$c_p$和$C_p$。给出了到光滑若尔当区域的推广。这些问题等价于确定狄利克雷问题的柯西变换的$L^p$范数的精确值。