Dirichlet 问题 Cauchy 变换的 $L^p\to L^q$ 范数估计及其应用

记 $C^{\alpha}(\mathbb{D})$ 为单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上指数为 $\alpha$ 的 Hölder 连续函数空间，记 $C^{1, \alpha}(\mathbb{D})$ 为可由导函数属于 $C^{\alpha}(\mathbb{D})$ 的可微函数构成的空间。设 $\mathcal{C}$ 为 Dirichlet 问题的 Cauchy 变换。本文中，我们得到了 $\|\mathcal{C}\|_{L^p\to L^q}$ 的范数估计，其中 $3/2<p<2$ 且 $q=p/(p-1)$。作为一个应用，我们证明若 $3/2<p<2$，则 $u\in C^{\mu}(\mathbb{D})$，其中 $\mu=2/p-1$。我们还证明若 $2<p<\infty$，则 $u\in C^{1, \nu}(\mathbb{D})$，其中 $\nu=1-2/p$。最后，对于 $p=\infty$ 的情形，我们证明 $u$ 未必属于 $C^{1, 1}(\mathbb{D})$，但其梯度即 $|\nabla u|$ 关于伪双曲度量是 Lipschitz 连续的。本文受 [Astala, Iwaniec, Martin: Elliptic partial differential equations and quasiconformal mappings in the plane, Princeton Mathematical Series, Vol. 48, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, p. xviii+677] 与 [Kalaj, Cauchy transform and Poisson's equation, Adv. Math. \textbf{231} (2012), 213--242] 第四章的启发。