圆环上Cauchy变换的$L^2$范数

我们计算了Cauchy变换在圆环$\Omega=A(r,R)=\{r<|z|<R\}$上的精确$L^2$算子范数\n\n$$(C_\Omega f)(z)=\frac1\pi\int_\Omega \frac{f(w)}{z-w}\,dA(w)$$\n\n通过利用旋转对称性和傅里叶模式分解，我们将问题简化为一维加权Hardy算子，得到\n\n$$\|C_{A(r,R)}\|_{L^2\to L^2} = \frac{2}{\sqrt{\mu_1^{ND}(r,R)}},$$\n\n其中$\mu_1^{ND}(r,R)$是内边界为Neumann条件、外边界为Dirichlet条件的拉普拉斯算子的第一个特征值。极值解以Bessel函数显式描述。