内部 Cauchy 变换的 $L^2$ 范数：超越第一个 Dirichlet 特征值

我们研究有界平面域 $D$ 上内部分 Cauchy 变换 $C_D$ 的尖锐 $L^2$ 界限，并澄清其与 Dirichlet 谱之间的联系。我们分析了一种方法，用欧几里得 Fourier 乘子取代 $D$ 上的分数 Dirichlet 幂，并通过零延伸实现。我们展示了这种替换可能改变最优常数。在特别是，我们构造了一个关于单位盘的显式端点反例来反驳文献 \cite{Dostanic1996} 中出现的 Fourier 加权不等式。这标识了一个推导猜想身份 \|C_D\|_{L^2\to L^2}=2/\sqrt{\lambda_1(D)} 的间隙。随后，我们以自然正势运算子在 $D$ 上最大特征值的形式识别了端点 Fourier 权重 $|\xi|^{-1}$ 的正确尖锐常数。最后，我们表明，对第一个 Dirichlet 特征函数进行 $C_D$ 测试已经超过谱阈值，因此对于简单连通域以及圆环 $A(r,R)$，都有 \|C_D\|_{L^2\to L^2}>2/\sqrt{\lambda_1(D)}，我们还证了一个刚性结果：若等式等于谱值当且仅当 $D$ 为圆盘。