诺伊曼特征函数边界值的可比较上下界及特征值的紧包含

对于 $\mathbb{R}$ 中的光滑有界域，我们证明了诺伊曼特征函数边界数据的上下 $L^2$ 界，并证明了该边界数据在谱窗中的准正交性。所述界是紧的，原因在于二者均独立于特征值；这是通过使用边界函数的适当范数实现的，该范数包含一个“谱权重”，即边界拉普拉斯算子的函数。选取此谱权重是为了抵消“耳语廊”型特征函数可能在边界处发生的集中。这些界与 Tataru 的波动方程估计密切相关。利用此结果，我们根据试函数 $u$ 求解亥姆霍兹方程 $(\Delta-E)u=0$ 的边界法向导数数据，界定任意亥姆霍兹参数 $E>0$ 到最近诺伊曼特征值的距离。该“包含界”相较先前已知界改进了 $E^{5/6}$ 倍。它类似于前两位作者近期在狄利克雷情形下改进的包含界。最后，我们应用我们的理论，给出了一种改进的数值实现，即特解法，用于计算光滑平面域上的诺伊曼特征对。我们展示，新的包含界将计算出的诺伊曼特征值（约第 $42000$ 个）的相对精度从 9 位有效数字提升至 14 位，且几乎不额外费力。