通过内部Neumann-to-Dirichlet映射的谱流快速计算高频Dirichlet本征模

我们提出了一种新算法，用于数值计算 $\mathbb{R}^d$ ($d\ge 2$) 中光滑星形区域上Dirichlet Laplacian的大特征值及其相关特征函数。传统的基于边界的方法需要在特征频率 $k$ 中进行根搜索，因此使用稠密线性代数找到每个特征对需要 $O(N^3)$ 的工作量，其中 $N=O(k^{d-1})$ 是离散化边界所需的未知数数量。我们的方法通过相对于 $k$ 线性化Helmholtz方程的加权内部Neumann-to-Dirichlet (NtD) 算子的谱，实现了 $O(N)$ 的加速。位于 $[k - \epsilon, k]$ 内的所有 $O(N)$ 个特征值的平方根 $k_j$ 的近似值 $\hat{k}_j$ 以 $O(N^3)$ 的工作量找到，其中 $\epsilon=O(1)$。我们证明了一个误差估计 $$|\hat k_j - k_j| \leq C \Big(\frac{\epsilon^2}{k} + \epsilon^3 \Big),$$ 其中 $C$ 与 $k$ 无关。我们提出了一个高阶变体，其经验特征值误差缩放为 $O(\epsilon^5)$，特征函数误差为 $O(\epsilon^3)$，前者改进了Vergini-Saraceno的“缩放方法”。对于平面区域 ($d=2$)，在假设不存在谱集中的情况下，我们还证明了与数值观测结果接近的严格误差界。对于 $d=2$，我们通过势理论、Nyström离散化和Cayley变换稳健地计算了NtD算子的谱。在高频（横跨400个波长）下，特征频率相对误差为 $10^{-10}$，我们表明该方法比基于根搜索的标准方法快 $10^3$ 倍。