一族控制柯西变换的奇异积分算子

我们研究 $\mathbb{C}$ 上与参数核 $$k_t(z):=\frac{(\Re z)^{3}}{|z|^{4}}+t\cdot \frac{\Re z}{|z|^{2}}, \quad t\in \mathbb{R},\qquad k_\infty(z):=\frac{\Re z}{|z|^{2}}\equiv \Re \frac{1}{z},\quad z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}.$$ 相关的卷积型奇异积分算子 $T_{k_t}$ 的行为。我们证明，对任意具有线性增长的正局部有限 Borel 测度，$T_{k_0}$ 相应的 $L^2$ 范数控制 $T_{k_\infty}$ 的 $L^2$ 范数，从而也控制柯西变换的 $L^2$ 范数。作为推论，我们证明对固定 $t\in (-t_0,0)$（其中 $t_0>0$ 为绝对常数）$T_{k_t}$ 的 $L^2(\mathcal{H}^1\lfloor E)$-有界性蕴含 $E$ 是可求长的。尽管如此，通常的曲率方法在此情形无法适用。此外，作为我们技术的推论，我们给出了柯西变换 $L^2$-有界性的双 Lipschitz 不变性的另一种更简证明，而后者是解析容量双 Lipschitz 不变性的关键要素。