Lyapunov 函数、恒等式与 Hele-Shaw 方程的柯西问题
偏微分方程分析
2020-06-24 v2
摘要
本文致力于研究 Hele-Shaw 方程。我们引入一种受水波理论启发的方法。从约化到边界出发，引入 Dirichlet 到 Neumann 算子并利用各种抵消，我们给出了自由面上速度的水平与垂直迹的抛物型演化方程。这使得我们能够以一种非常简单的方式拟线性化方程。通过将这些精确恒等式与凸性不等式相结合，我们证明了不同性质的隐藏 Lyapunov 函数的存在性。我们还从这些恒等式以及先前关于水波问题的工作出发，给出了柯西问题适定性的一个简单证明。该分析包含两个具有独立意义的附带结果。首先，我们给出一个原理，用于在关于流的通常假设下推导 PDE 的模连续性估计。其次我们证明了 Dirichlet 到 Neumann 算子的一个凸性不等式。
引用
@article{arxiv.1907.03691,
title = {Lyapunov functions, Identities and the Cauchy problem for the Hele-Shaw equation},
author = {Thomas Alazard and Nicolas Meunier and Didier Smets},
journal= {arXiv preprint arXiv:1907.03691},
year = {2020}
}
备注
We have added some references