关于一类散焦NLS解的衰减

我们考虑以下Cauchy问题族：$$i\partial_t u= \Delta u - u|u|^\alpha, \quad (t,x) \in \R \times \R^d$$ $$u(0)=\varphi\in H^1(\R^d)$$ 其中当 $d\geq 3$ 时 $0<\alpha<\frac{4}{d-2}$，当 $d=1,2$ 时 $0<\alpha<\infty$。我们证明，当 $d\geq 3$ 时在 $2<r<\frac{2d}{d-2}$ 且当 $d=1,2$ 时在 $2<r<\infty$ 的条件下，解的 $L^r$ 范数在 $t\to \pm \infty$ 时衰减。特别地，我们推广了Ginibre和Velo关于 $d\geq 3$ 以及Nakanishi关于 $d=1,2$ 的先前结果，他们在额外假设 $\alpha >\frac{4}{d}$ 下证明了相同的衰减结果。