关于非线性薛定谔方程衰减性态的注记

在本注记中，我们证明 $3d$ 中散焦立方 NLS 存在一个特殊解 $u$，它对所有 $s>0$ 属于 $H^{s}$，但以极慢方式散射到线性解。我们证明对该 $u$，对所有 $\epsilon>0$，有 $\sup_{t>0}t^{\epsilon}\|u(t)-e^{it\Delta}u^{+}\|_{\dot{H}^{1/2}}=\infty$。注意若进一步假定 $u(0)$ 的初始数据属于 $L^{1}$，此种缓慢渐近收敛是不可能的。我们预期类似构造对其他 NLS 模型也成立。可见缓慢收敛由初始数据中存在延迟的后向散射剖面所致，我们也阐明了为何初始数据的 $L^{1}$ 条件会消除此现象。