$\mathbb{R}^3\times\mathbb{T}$上散焦三次非线性薛定谔方程的几乎必然散射

我们考虑波导流形$\mathbb{R}^3\times\mathbb{T}$上散焦三次非线性薛定谔方程(NLS)的柯西问题，并建立了随机初值的几乎必然散射，其中不施加任何对称条件，且结果对任意粗糙数据$f\in H^s$（$s\in\mathbb{R}$）均成立。主要的新要素是对Shen-Soffer-Wu \cite{ShenSofferWu21}新建立的随机化方法进行逐层精细化，这使我们还能从沿周期方向的强迫项的随机化中获得强光滑效应。值得注意的是，这种光滑效应通常对纯紧流形不成立，而由于底层域的混合类型性质，它对本模型却可用。作为副产品，在假设初值周期平凡的条件下，我们还得到了$\mathbb{R}^3$上散焦三次NLS的几乎必然散射，平行于Camps \cite{Camps}与Shen-Soffer-Wu \cite{Shen2022}的结果。据我们所知，本文也给出了乘积空间上NLS的首个几乎必然适定性结果。