波导流形上非线性 Schrödinger 方程的临界散射

我们研究波导流形上非线性 Schrödinger 方程（NLS）在临界空间中的小数据散射问题。我们的工作主要受 Kwak 和 Kwon \cite{KwakKwon} 近期论文的启发，该文建立了具有可能非代数非线性的周期 NLS 的局部适定性。尽管我们为该问题采用了类似于 \cite{KwakKwon} 的框架，但两个主要障碍阻碍了其直接应用于波导情形。首先，由 Hani 和 Pausader 引入的临界乘积空间中 NLS 的经典 Strichartz 估计具有有限的端点，因此不适用于高维波导。其次，\cite{KwakKwon} 中使用的关键分数阶论证依赖于 Strichartz 的一个著名分数阶导数公式，该公式仅允许 Hilbert 空间值扩展，因此与我们的模型设定不兼容。为了克服这些困难，我们利用 Tzvetkov 和 Visciglia 建立的各向异性 Strichartz 估计（允许几乎无限制的端点），发展了 \cite{KwakKwon} 框架的各向异性推广。我们还通过在 Besov 空间内采用新颖的插值技术，解决了由模型的向量值和各向异性特性引起的若干新挑战。作为另一项创新，我们提供了主要结果基于经典不动点论证的新证明，不同于 \cite{KwakKwon} 中使用的逼近方法。因此，我们解决了波导流形上具有任意质量超临界非线性的 NLS 在临界空间中的小数据散射问题。