在 $u=0$ 处具有温和奇点的半线性椭圆方程：存在性与齐次化

本文考虑带奇点的半线性椭圆方程，其原型如下 \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle - div \,A(x) D u = f(x)g(u)+l(x)& \mbox{in} \; \Omega,\\ u = 0 & \mbox{on} \; \partial \Omega,\\ \end{cases} \end{equation*} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N,\, N\geq 1$ 中的有界开集，$A\in L^\infty(\Omega)^{N\times N}$ 是一个强制矩阵，$g:[0,+\infty)\rightarrow [0,+\infty]$ 连续，且对所有 $s>0$ 有 $0\leq g(s)\leq {{1}\over{s^\gamma}}+1$，其中 $0<\gamma\leq 1$，$f,l \in L^r(\Omega)$，$r={{2N}\over{N+2}}$ 若 $N\geq 3$，$r>1$ 若 $N=2$，$r=1$ 若 $N=1$，$f(x), l(x)\geq 0$ a.e. $x \in \Omega$。我们证明了至少一个非负解的存在性以及一个稳定性结果；此外，若 $g(s)$ 非增或“几乎非增”则唯一性也得证。最后，我们研究了在通过从固定域 $\Omega$ 中移除许多小孔而获得的一列域 $\Omega^\epsilon$ 上这些方程的齐次化。