基于全变分正则化的测度散度之逆势问题

我们研究泊松方程的逆问题，其源项为 $\mathbf{R}^3$ 值测度的散度，即势 $\Phi$ 满足 $$\Delta \Phi= \text{div} \boldsymbol{\mu},$$ 且 $\boldsymbol{\mu}$ 要在已知 $\Phi$ 的梯度场（某一分量）于一个与 $\boldsymbol{\mu}$ 的支撑不相交的集合上的条件下被重构。此类问题出现在准静态 regime 下的若干电磁情境中，例如由剩磁磁场的测量恢复剩磁化强度。我们发展了基于全变分正则化恢复 $\boldsymbol{\mu}$ 的方法。当正则化参数与噪声以联合方式趋于零时，我们给出了 $\boldsymbol{\mu}$ 唯一恢复的充分条件——在其为单方向，或磁化强度的支撑在纯 1-不可整流意义下稀疏时。文中给出数值例子以阐明主要理论结果。