平面上的无散度测度与散度型逆势问题
泛函分析
2021-01-12 v2
摘要
我们证明平面上的无散度测度是可求长若尔当曲线上单位切向量场的连续和。当应用于平面情形时，该环路分解比 S.K. Smirnov 给出的基本螺线管一般分解更为精确。证明涉及将 Fleming-Rishel 公式推广到齐次 BV 函数(任意维)，并为此类函数建立上水平集的测度论连通分支作为水平函数的近似连续性。我们将这些结果应用于源项为某个未知(向量值)测度的散度的逆势问题。一个原型情形是当磁化由 R3 值 Borel 测度建模时的逆磁化问题。我们研究通过惩罚其测度论全变分范数(TV)来恢复磁化 的方法。特别地，我们证明若磁化支撑于一个平面内，则 TV 正则化方案总有唯一极小元，即便存在噪声。进一步表明，在生成相同场的磁化中，TV 范数最小化在以下情形唯一恢复平面磁化：当磁化由一组充分分离线段与一个纯 1-不可求长集承载时，或当支撑的超集为树状时。我们注意到此类磁化可通过将正则化参数趋于零的 TV 正则化方案在零噪声极限下恢复。这暗示了在当前无限维情形下稀疏性的定义，可产生类似于压缩感知的结果。
引用
@article{arxiv.2006.09072,
title = {Divergence-free measures in the plane and inverse potential problems in divergence form},
author = {L. Baratchart and D. Hardin and C. Villalobos-Guillén},
journal= {arXiv preprint arXiv:2006.09072},
year = {2021}
}
备注
40 pages