全变分最小化用于信号恢复的保证

本文考虑利用全变分最小化从少量测量值中恢复梯度具有稀疏支撑的信号。我们为全变分（TV）最小化在恢复具有稀疏梯度支撑的**一维**信号时的性能保证建立了证明。这在一定程度上回答了在文献[TVMulti]所述设定下证明全变分最小化保真度的开放问题。特别地，我们证明了当使用 TV 最小化时，可恢复的梯度稀疏度可随信号维度线性增长。通过使用 Grassmann 角框架，我们显式计算了一维信号 TV 最小化的可恢复稀疏度阈值。我们还将结果推广到多维信号的 TV 最小化。通过一个称为“一维 TV 范数的几乎欧几里得性质”的性质，我们也建立了使用一维 TV 最小化恢复信号本身的稳定性。我们进一步给出了恢复具有 $N$ 个元素和 $K$-稀疏梯度的一维信号向量所需的随机高斯测量数目的下界。有趣的是，所需测量数目的下界为 $\Omega((NK)^{\frac{1}{2}})$，而非在恢复 $K$-稀疏信号向量时经常出现的 $O(K\log(N/K))$ 界。