压缩成像中 TV 最小化的改进恢复保证与采样策略

在本文中，我们考虑在压缩成像中使用全变分（Total Variation, TV）最小化，即从欠采样测量中重建图像。聚焦于两种重要的成像模态——即傅里叶成像与通过 Walsh–Hadamard 变换的结构化二值成像——我们推导出一致恢复保证，断言对任意随机采样策略的稳定且鲁棒的恢复。利用这一点，我们随后推导出一类理论最优的采样策略。对于傅里叶采样，我们展示了在 $d \geq 1$ 维中从 $m \gtrsim_d s \cdot \log^2(s) \cdot \log^4(N)$ 次测量中恢复具有近似 $s$-稀疏梯度的图像。当 $d = 2$ 时，这比当前最优结果改进了 $\log(s) \cdot \log(N)$ 的因子，并将其推广到任意维数 $d \geq 2$。对于 Walsh 采样，我们证明在 $d \geq 2$ 维中 $m \gtrsim_d s \cdot \log^2(s) \cdot \log^2(N/s) \cdot \log^3(N)$ 次测量已足够。据我们所知，这是首个针对 TV 最小化的结构化二值采样的恢复保证。