论全变分在压缩感知中的作用

本文考虑从被噪声污染的离散傅里叶系数的不完整子集中恢复一个在一维或二维离散梯度下近似稀疏的离散信号的问题。我们证明，为了以高概率获得对噪声具有鲁棒性且对 $s$ 阶非精确梯度稀疏性稳定的重建，只需从可用的傅里叶系数中均匀随机抽取 $\mathcal{O}(s \log N)$ 个样本。然而，我们也表明，如果按照一种集中于低傅里叶频率的特定分布抽取 $\mathcal{O}(s \log N)$ 个样本，则所能保证的稳定性界限在 $\log$ 因子范围内是最优的。最后，我们证明在一维情况下，若底层信号是梯度稀疏的且其稀疏模式满足最小分离条件，则为了保证以高概率精确恢复，对于某个 $M<N$，只需从频率不大于 $M$ 的傅里叶系数中均匀随机抽取 $\mathcal{O}(s\log M\log s)$ 个样本。