带一维全变分的压缩感知：通过非均匀恢复打破采样复杂度壁垒（iTWIST'20）

本文研究一维空间中的全变分最小化，用于从欠采样高斯测量中恢复梯度稀疏信号。近期建立的所需采样率界限表明，以 $m \gtrsim \sqrt{s n} \cdot \text{PolyLog}(n)$ 次测量均匀恢复 $\mathbb{R}^n$ 中所有 $s$-梯度稀疏信号仅在此条件下可能。此类条件对高维问题尤为苛刻，其中 $s$ 远小于 $n$。然而，先前的经验发现似乎表明该采样率并未反映全变分最小化的典型行为。事实上，本工作提供了严格分析，打破了一大类自然信号的 $\sqrt{s n}$ 瓶颈。主要结果表明，若信号向量的跳跃间断点充分分离，则非均匀恢复以高概率在 $m \gtrsim s \cdot \text{PolyLog}(n)$ 次测量下成功。特别地，该保证适用于由区间上定义的分段常数函数离散化所得的信号。本文作为我们近期工作 [arxiv:2001.09952] 主要结果的简短总结。