通过幂次排斥 - 吸引势进行概率度量量化的相容性

本文关注一种概率度量量化变分方法的相容性研究，该方法通过平衡幂次排斥势和吸引势的最小化原理确定性实现。相容性的证明基于构建一个目标能量泛函，其唯一最小化子即为待量化的给定概率测度 $\omega$。随后，我们证明了定义离散量化器为其最小化子的离散泛函，实际上关于概率测度空间上的窄拓扑$\Gamma$-收敛于目标能量。一个关键要素是通过傅里叶表示重构目标泛函，这将条件正半定函数的刻画从一般位置的点扩展到了概率测度。作为傅里叶表示的副产品，我们还根据一致矩界获得了目标能量子水平的紧性，这已在相应梯度流的渐近分析中找到应用。为了模拟给定概率受噪声影响的情况，我们额外考虑了一个修正能量，添加了正则化全变分项，并再次研究了其关于$\Gamma$-收敛的点质量近似。我们表明，这种全变分的离散测度表示可以解释为一种额外的非线性势，其在短程表现为排斥，中程表现为吸引，而在长程不起作用，从而促进了点质量的均匀分布。