凸集外等周问题中的刚性与大体积残差

Choe、Ghomi 与 Ritoré 的一个比较定理指出，$\mathbb{R}^N$ 中任一凸体 $\mathcal{C}$ 的外等周剖面 $I_\mathcal{C}$ 位于任一半空间 $H$ 的相应剖面之上。我们以“无穷远处的极大仿射维数”（简称为 $\mathcal{C}$ 的渐近维数 $d^*(\mathcal{C})$）这一概念刻画满足 $I_\mathcal{C}\equiv I_H$ 的凸体。更确切地说，我们证明 $I_\mathcal{C}\equiv I_H$ 当且仅当 $d^*(\mathcal{C})\ge N-1$。我们还证明若 $d^*(\mathcal{C})\le N-2$，则对大体积而言 $I_\mathcal{C}$ 渐近于 $\mathbb{R}^N$ 的等周剖面。进而，我们依据依赖于 $d^*(\mathcal{C})$ 的幂律，估计了当 $v\to\infty$ 时 $I_\mathcal{C}$ 与 $\mathbb{R}^N$ 的等周剖面之差的阶。