任意维球值映射中 Möbius 群的尖锐定量稳定性

本工作中我们证明 Liouville 定理的一种尖锐定量形式，该定理断言对所有 $n\geq 3$，度为 $\pm 1$ 的 $\mathbb S^{n-1}$ 弱共形映射均为 Möbius 变换。在 $n=3$ 情形，此估计首先由 Bernand-Mantel、Muratov 与 Simon 获得（Arch. Ration. Mech. Anal. 239(1):219-299, 2021），其后 Topping 以及 Hirsch 与第三作者给出了不同证明。高维情形 $n\geq 4$ 需要新论证，因为它是真正非线性的：该估计的线性化版本涉及的量无法在共形不变 Sobolev 范数下控制到 Möbius 变换的距离。我们规避此困难的主要工具是 Figalli 与 Zhang 在其 Sobolev 不等式尖锐稳定性估计证明中引入的一个不等式。