利用弱 Lebesgue 空间和 BMO 的广义 Gagliardo-Nirenberg 不等式

利用基于傅里叶变换的基本论证，我们证明了对于 $1 \leq q < p < \infty$ 和 $s \geq 0$ 且 $s > n(1/2-1/p)$，若 $f \in L^{q,\infty}(\R^n) \cap \dot{H}^s(\R^n)$，则 $f \in L^p(\R^n)$，且存在常数 $c_{p,q,s}$ 使得 $$\|f\|_{L^p} \leq c_{p,q,s} \|f\|_{L^{q,\infty}}^\theta \|f\|_{\dot H^s}^{1-\theta},$$ 其中 $1/p = \theta/q + (1-\theta)(1/2-s/n)$。特别地，在 $\R^2$ 中我们得到了广义 Ladyzhenskaya 不等式 $\|f\|_{L^4}\le c\|f\|_{L^{2,\infty}}^{1/2}\|f\|_{\dot H^1}^{1/2}$。我们还表明，对于 $s=n/2$，$\|f\|_{\dot H^{n/2}}$ 中的范数可以被 BMO 中的范数替代。除了提供这些不等式的相对简单证明外，本文还提供了调和分析中一些基本概念的简要入门，包括弱空间、傅里叶变换、Lebesgue 微分定理和 Calderon-Zygmund 分解。