高斯空间中与维数无关的Bernstein-Markov不等式

我们得到了高斯空间中如下与维数无关的Bernstein-Markov不等式：对每个$1\leq p<\infty$，存在常数$C_p>0$，使得对任意$k\geq 1$及$\mathbb{R}^{k}$上的所有多项式$P$有$$\| \nabla P\|_{L^{p}(\mathbb{R}^{k}, \mathrm{d}\gamma_k)} \leq C_p (\mathrm{deg}\, P)^{\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan\left(\frac{|p-2|}{2\sqrt{p-1}}\right)}\|P\|_{L^{p}(\mathbb{R}^{k}, \mathrm{d}\gamma_k)},$$其中$\mathrm{d}\gamma_k$为$\mathbb{R}^{k}$上的标准高斯测度。我们还证明，在对任意函数$B \in C^{2}((0,\infty))\cap C([0,\infty))$满足某些温和增长假设且$B', B''>0$时，有$$\int_{\mathbb{R}^{k}} B\left( |LP(x)|\right) \mathrm{d}\gamma_k(x) \leq \int_{\mathbb{R}^{k}} B\left( 10 (\mathrm{deg}P)^{\alpha_{B}}|P(x)|\right)\mathrm{d}\gamma_k(x)$$其中$L=\Delta-x\cdot \nabla$为Ornstein-Uhlenbeck半群的生成元，且$$\alpha_{B} =1+\frac{2}{\pi} \arctan\left(\frac{1}{2}\sqrt{\sup_{s \in (0,\infty)}\left\{\frac{sB''(s)}{B'(s)}+\frac{B'(s)}{sB''(s)}\right\}-2}\right).$$