Ornstein-Uhlenbeck 算子在 Gaussian 尾空间上的尖锐增长

设 $X$ 为标准 Gaussian 随机变量。对任意 $p \in (1, \infty)$，我们证明存在普适常数 $C_{p}>0$，使得不等式 $$(\mathbb{E} |h'(X)|^{p})^{1/p} \geq C_{p} \sqrt{d} (\mathbb{E} |h(X)|^{p})^{1/p}$$ 对所有 $d\geq 1$ 及所有谱支撑于至少 $d$ 频率的多项式 $h : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ 成立，即对所有 $k=0,1, \ldots, d-1$ 有 $\mathbb{E} h(X) X^{k}=0$。作为该最优估计的应用，我们给出了 Mendel 与 Naor（2014）关于实直线尾空间上 Ornstein-Uhlenbeck 算子增长的疑问之 Gaussian 类比的肯定回答。我们还展示了任意维解析多项式梯度上的相同界。