高斯映射维数间隙的一个新证明

Kifer、Peres 和 Weiss 证明了高斯映射 $T(x)= \frac{1}{x} \mod 1$ 的伯努利测度满足一个“维数间隙”，即存在某个 $c>0$，使得 $\sup_{\mathbf{p}} \dim \mu_{\mathbf{p}} <1-c$，其中 $\mu_{\mathbf{p}}$ 表示可数概率向量 $\mathbf{p}$ 的（推前）伯努利测度。本文我们提出维数间隙的一个新证明。通过使用热力学形式化的工具，我们表明该问题可归结为获得一类势的渐近方差的一致下界。