利用间隙比度量度量空间中点样本的均匀性

Teramoto 等人定义了一种称为间隙比的新度量，用于衡量从 $\cal S$（$\mathbb{R}^2$ 的有界子集）中采样的有限点集的均匀性。我们通过诉诸覆盖半径和填充半径，将这一定义推广到所有度量空间。与广泛使用的均匀性度量 discrepancy（其依赖于范围空间及其体积的概念）不同，间隙比的定义仅需一个度量。我们还展示了间隙比与欧几里得平面中 Delaunay 三角剖分和 discrepancy 之间的一些有趣联系。本工作的主要重点是解决关于从度量空间中选择均匀点样本的优化相关问题，其中均匀性使用间隙比进行衡量。我们考虑了离散空间（如图和欧几里得空间中的点集）以及连续空间（如单位正方形和路径连通空间）。我们推导了下界，证明了硬度及近似硬度结果。我们表明，通用的近似算法框架会根据我们推导的下界，为不同的度量空间提供不同的近似比。除此之外，我们证明了从欧几里得空间采样均匀点的 coreset 的存在性——适用于静态和流式两种情况。这导出了针对欧几里得空间均匀采样的 $\left( 1+\epsilon \right)$-近似算法。