Gauss 映射的 Gibbs 测度的 Fourier 变换

我们研究了在何种条件下，由 Gauss 映射 $x \mapsto 1/x \mod 1$ 定义的动力系统的给定不变测度 $\mu$ 是一个具有多项式衰减 Fourier 变换的 Rajchman 测度，即 $$|\widehat{\mu}(\xi)| = O(|\xi|^{-\eta}), \quad \text{as } |\xi| \to \infty.$$ 我们证明，对于任何 Hausdorff 维数大于 $1/2$ 且对 Gibbs 势满足自然大偏差假设的 Gibbs 测度 $\mu$，该性质均成立。特别地，我们获得了关于坏可逼近数集上维数大于 $1/2$ 的 Hausdorff 测度和所有 Gibbs 测度的结果，这扩展了 Kaufman 和 Queff\'elec-Ramar\'e 的构造。我们的主要结果表明，Minkowski 问号函数的 Fourier-Stieltjes 系数多项式衰减至 $0$，从而回答了 Salem 于 1943 年提出的一个问题。作为 Davenport-Erd\H{o}s-LeVeque 准则的应用，我们获得了关于 Gibbs 测度的等分布定理，这在部分上扩展了 Hochman-Shmerkin 的近期结果。我们的证明基于利用 Gauss 映射的非线性和数论性质，以及关于 Hausdorff 维数和 Lyapunov 指数的大偏差理论。