UMD Banach 空间中的 Burkholder-Davis-Gundy 不等式

本文中，我们证明了取值于 UMD Banach 空间 $X$ 的一般鞅 $M$ 的 Burkholder-Davis-Gundy 不等式。假设 $M_0=0$，我们证明对所有 $1\leq p<\infty$ 成立如下双边不等式：\begin{align}\label{eq:main}\tag{{$\star$}} \mathbb E \sup_{0\leq s\leq t} \|M_s\|^p \eqsim_{p, X} \mathbb E \gamma([\![M]\!]_t)^p ,\;\;\; t\geq 0. \end{align} 此处 $\gamma([\![M]\!]_t)$ 是 $X$ 上以 $[\![M]\!]_t(x^*,y^*):= [\langle M,x^*\rangle, \langle M,y^*\rangle]_t$ 为协方差双线性型的唯一 Gaussian 测度的 $L^2$-范数。这将 Veraar 与作者近期的一个结果推广到一般 UMD 空间，该结果在 UMD Banach 函数空间 $X$ 上证明了 \eqref{eq:main} 的点态版本。我们证明对连续鞅，\eqref{eq:main} 对所有 $0<p<\infty$ 成立；对纯不连续鞅，\eqref{eq:main} 的右端可用 $M$ 的跳跃更明确地表示。对具有独立增量的鞅，\eqref{eq:main} 被证明在具有有限余型的可反 Banach 空间 $X$ 中更一般地成立。在相反方向，我们证明对任意鞅 \eqref{eq:main} 的有效性蕴含 $X$ 的 UMD 性质。作为一个应用，我们证明了关于取值于向量的随机积分（相对于一般鞅）的若干 It\^o 同构，推广了 van Neerven、Veraar 和 Weis 早先关于相对于 Brownian 运动的向量值随机积分的结果。我们也给出了相对于补偿 Poisson 与一般随机测度的向量值随机积分的 It\^o 同构。