随机卷积的极大不等式与时间离散格式的路径一致收敛性

我们证明了取值于 2-光滑 Banach 空间的离散时间过程的新的 Burkholder-Rosenthal 型不等式。作为第一个应用，我们证明：若 $(S(t,s))_{0\leq s\leq T}$ 是 2-光滑 Banach 空间 $X$ 上的一族 $C_0$-压缩演化族，且 $(W_t)_{t\in [0,T]}$ 是概率空间 $(\Omega,P)$ 上的柱面布朗运动，则对每个 $0<p<\infty$，存在常数 $C_{p,X}$，使得对所有渐进可测过程 $g: [0,T]\times \Omega\to X$，过程 $(\int_0^t S(t,s)g_sdW_s)_{t\in [0,T]}$ 具有连续修正，且 $$E\sup_{t\in [0,T]}\Big\| \int_0^t S(t,s)g_sdW_s \Big\|^p\leq C_{p,X}^p \mathbb{E} \Bigl(\int_0^T \| g_t\|^2_{\gamma(H,X)}dt\Bigr)^{p/2}.$$ 此外，对 $2\leq p<\infty$ 可取 $C_{p,X} = 10 D \sqrt{p}$，其中 $D$ 为 $X$ 的 2-光滑性定义中的常数。我们的结果改进并统一了若干已有的极大估计，且在 $X$ 为 Hilbert 空间时也是新的。若将驱动的鞅 $g_tdW_t$ 替换为更一般的 $X$-值鞅 $dM_t$，也可得到类似结果。此外，我们的方法允许随机演化系统，就极大不等式而言这似乎是完全新颖的设定。作为第二个应用，对一大类时间离散格式，我们在线性 SPDE $$du_t = A(t)u_tdt + g_tdW_t, \quad u_0 = 0,$$ 的解上获得了时间离散格式的稳定性与路径一致收敛性。在对非齐次项 $g$ 的空间光滑性假设下，无需压缩性且可获得显式衰减率。在抛物型情形中这 sharpen 了文献中若干已知估计；超出抛物型设定时，这似乎提供了通往时间离散格式路径一致收敛的第一个系统性方法。