欧几里得空间中相对熵的不等式与对数 Sobolev 不等式

设 $q(x)$ 和 $p(x)$ 表示 $n$ 维欧几里得空间上的密度函数，$p_i(\cdot|y_1,..., y_{i-1},y_{i+1},..., y_n)$ 和 $Q_i(\cdot|x_1,..., x_{i-1},x_{i+1},..., x_n)$ 表示它们的局部规范。对于一类密度函数 $q$，我们证明了相对熵 $D(p||q)$ 与条件相对熵 $D(p_i(\cdot|Y_1,..., Y_{i-1},Y_{i+1},..., Y_n) ||Q_i(\cdot|Y_1,..., Y_{i-1},Y_{i+1},..., Y_n))$ 的加权和之间的不等式，该不等式对任意 $p$ 成立。权重与 $q$ 的局部规范的对数 Sobolev 常数成正比。由此，我们推导出了由 $q$ 的局部规范控制的加权 Gibbs 采样器的对数 Sobolev 不等式。此外，该不等式蕴含了 $q$ 的经典对数 Sobolev 不等式，正如 L. Gross 为高斯分布所定义的那样。这加强了 F. Otto 和 M. Reznikoff 的结果。证明基于 F. Otto 和 C. Villani 在其关于 Talagrand 传输代价不等式与对数 Sobolev 不等式之间联系的论文中发展的思想。