巴拿赫空间中的离散对数 Sobolev 不等式

设 $\mathscr{C}_n=\{-1,1\}^n$ 为装备一致概率测度 $\sigma_n$ 的离散超立方体。我们证明：若 $(E,\|\cdot\|_E)$ 是有限余型(cotype)的巴拿赫空间且 $p\in[1,\infty)$，则每个函数 $f:\mathscr{C}_n\to E$ 满足维数无关的向量值 $L_p$ 对数 Sobolev 不等式 $$\|f-\mathbb{E} f\|_{L_p(\log L)^{p/2}(E)} \leq \mathsf{K}_p(E) \left( \int_{\mathscr{C}_n} \Big\| \sum_{i=1}^n \delta_i \partial_i f\Big\|_{L_p(E)}^p \, d\sigma_n(\delta)\right)^{1/p}.$$ 有限余型假设对该结论成立是必要的。此估计是 Ledoux (1988) 在高斯空间中结果的超立方体对应物，也是 Talagrand (1994) 一个深刻不等式的最优向量值版本。作为一个应用，我们利用此类向量值 $L_p$ 对数 Sobolev 不等式推导了哈明立方体的非线性商到具有给定 Rademacher 型的巴拿赫空间中的双 Lipschitz 畸变的新下界。