用乘积空间中局部规格的相对熵界定相对熵

对于$\Bbb R^n$上的一类密度函数$q^n(x^n)$，我们证明了相对熵与平均条件相对熵之和之间的一个不等式，形式如下：对于$\Bbb R^n$上的任意密度函数$p^n(x^n)$，有$D(p^n||q^n)\leq Const. \sum_{i=1}^n \Bbb E D(p_i(\cdot|Y_1,..., Y_{i-1},Y_{i+1},..., Y_n) || Q_i(\cdot|Y_1,..., Y_{i-1},Y_{i+1},..., Y_n))$，其中$p_i(\cdot|y_1,..., y_{i-1},y_{i+1},..., y_n)$和$Q_i(\cdot|x_1,..., x_{i-1},x_{i+1},..., x_n)$分别表示$p^n$和$q^n$的局部规格，即给定其他坐标时第$i$个坐标的条件密度函数。常数取决于$q^n$的局部规格的性质。上述不等式蕴含了$q^n$的一个对数Sobolev不等式。我们在以下假设下得到了$q^n$的对数Sobolev常数的显式下界：(i) $q^n$的局部规格满足对数Sobolev不等式，常数为$\rho_i$，并且(ii)它们还满足某些条件，表明$q^n$的哈密顿量的混合偏导数相对于对数Sobolev常数$\rho_i$不会太大。条件(ii)可能比Otto和Reznikoff最近关于自旋系统对数Sobolev常数估计的论文中使用的条件更弱。