关于 Sobolev-Slobodeckiĭ 空间中的 Morrey 不等式

我们研究了整个 $\mathbb{R}^N$ 上分数阶 Sobolev-Slobodeckiĭ 空间中的 Morrey 不等式的尖锐常数。通过推广 Hynd 和 Seuffert 近期的工作，我们证明了极值元的存在性，并给出了一些正则性估计。我们还分析了当达到临界情形 $s\,p=N$（此时不等式失效）时该常数的尖锐渐近行为。这可以通过 Morrey 不等式的一个新的初等证明来实现，该证明结合了：穿孔球的局部分数阶 Poincaré 不等式、点的容量的定义以及穿孔空间的 Hardy 不等式。最后，我们计算了 $s\nearrow 1$ 时尖锐 Morrey 常数的极限，以及 $p\nearrow \infty$ 时的极限。我们也得到了极值元的收敛性。