关于临界 $p$-Laplace 方程的稳定性

对于 $1<p<n$，已知 $\Delta_p u + u^{p^{\ast}-1} =0$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中的非负能量弱解被完全分类。此外，由于 Struwe 及其延伸结果，这一分类在气泡形式下是稳定的。在本文中，我们研究在防止气泡形成的条件下，对临界 $p$-Laplace 方程扰动的稳定性。具体而言，我们证明任何满足此类扰动方程的解 $u \in \mathcal{D}^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ 必须在定量上接近一个气泡。该结果概括了首位作者与 Figalli 和 Maggi 最近的工作（Int. Math. Res. Not. IMRN 2018 (2018), no. 21, 6780-6797），其中在 $p=2$ 时建立了尖锐的定量估计。然而，我们的分析与 theirs 完全不同，基于定量 $P$-函数方法。