Sobolev不等式的稳定性：极小元的存在性

我们证明由Bianchi和Egnell给出的、与Sobolev不等式及其优化元集合$\mathcal M$相关的稳定性不等式$$\frac{\|\nabla f\|_{L^2(\mathbb R^d)}^2 - S_d \|f\|_{L^\frac{2d}{d-2}(\mathbb R^d)}^2}{ \inf_{h \in \mathcal M} \|\nabla (f - h)\|_{L^2(\mathbb R^d)}^2 } \geq c_{BE} > 0 \qquad \text{ for every } f \in \dot{H}^1(\mathbb R^d)$$对每个$d \geq 3$承认一个极小元。我们的证明包含对Brezis和Lieb提出的经典策略的适当精细化。作为一个关键要素，我们建立了严格不等式$c_{BE} < 2 - 2^\frac{d-2}{d}$，这意味着两个渐近非相互作用的泡的序列不可能是极小化的。事实上，我们的论证覆盖了任意分数阶指数$s \in (0, d/2)$和维数$d \geq 2$的分数阶Sobolev不等式的类似稳定性不等式。