Hardy-Sobolev 不等式的 Bianchi-Egnell 稳定极值存在性

本文证明了 Hardy-Sobolev (HS) 不等式的最佳 Bianchi-Egnell 常数\n\begin{align*}\nC_{\tiny\mbox{{BE}}}(\gamma) := \inf_{{u \ \small \mbox{not an optimizer}}} \frac{\int_{\mathbb{R}^n} \left(|\nabla u|^2 - \frac{\gamma}{|x|^2}u^2\right) \ {\rm d}x - S_{\gamma}\|u\|_{L^{2^{\star}}}^2}{\mbox{dist} (u, \ \mbox{set of optimizers})^2}, \end{align*}\n是取得的，扩展了 K"onig [arXiv:2211.14185] 对于经典 Sobolev 不等式（对应 $\gamma = 0$）的结果。一个主要难点是线性化算子的第三特征空间可能仅包含次数为 $1$ 的球面谐函数，因此基本非消失准则失效 [arXiv:2210.08482]。这种非消失准则对于证明最佳 Bianchi-Egnell 常数 $C_{\tiny\mbox{{BE}}}(\gamma) < C_{\tiny\mbox{{BE}}}^{\tiny\mbox{{loc}}}(\gamma)$（防止最小序列收敛到优化函数中）至关重要。此外，由于不具备平移不变性，从最小序列中提取非零弱极限 presents 困难。我们发现另一个隐藏的临界水平 $C_{\tiny\mbox{{BE}}}(\gamma) <1 - \frac{S_{\gamma}}{S}$，其中 $S$ 是最佳 Sobolev 常数，在证明极值存在性中发挥重要作用。特别地，我们证明存在 $\gamma_0>0$，使得当 $\gamma \geq \gamma_0$ 时，$C_{\tiny\mbox{{BE}}}(\gamma)$ 必然取得。此外，我们指出存在一个区域 $\gamma_0 \leq \gamma < \gamma_c^{\star}$，其中线性化算子的第三特征空间仅包含次数为 $1$ 的球面谐函数。我们的结果改进了 Wei-Wu [arXiv:2308.04667] 关于 HS 不等式的一些结果。