最佳 Sobolev 不等式的刚性定理

对于 $n\geq 2$、$p\in(1,n)$,开集 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 上的“最佳 $p$-Sobolev 不等式”被确定为一族具有临界体积与迹约束的变分问题 $\Phi_\Omega$。当 $\Omega$ 有界时,我们证明:(i) 对所有 $n$ 和 $p$,存在至多有一个边界集中点的广义极小元;以及 (ii) 对 $n> 2\,p$,存在(经典)极小元。随后,我们针对第一作者与 Villani 提出的比较定理“球体具有最差的最佳 Sobolev 不等式”建立了刚性结果,从而首次对 [MV05] 中提出的问题给出肯定回答。