带 $L^2$ 约束的非线性标量场方程：山路pass与对称山路pass方法

我们研究 ${\mathbb R}^N$ ($N\geq 2$) 中以下非线性标量场方程径向对称解的存在性： (*)_m \left\{ \eqalign{ -&\Delta u = g(u) -\mu u \quad \hbox{in}\ {\mathbb R}^N, \cr &\| u\|_{L^2({\mathbb R}^N)} = m, \cr &u \in H^1({\mathbb R}^N), \cr} \right. 其中 $g(\xi)\in C({\mathbb R},{\mathbb R})$，$m>0$ 为给定常数，$\mu\in {\mathbb R}$ 为 Lagrange 乘子。我们引入了一种利用问题 $(*)_m$ 的 Lagrange 公式的新方法。我们在新版本的 Palais-Smale 条件下发展了一种新的形变论证。对于与 [BL1, BL2, HIT] 相关的一大类非线性问题，这使我们能够对 $L^2$ 约束问题应用极小极大论证，并证明了无穷多解的存在性，以及该问题极小化解的山路pass表征：$$\inf\left\{ \int_{{\mathbb R}^N} {1\over 2}|\nabla u|^2 - G(u)\, dx;\, \| u\|_{L^2({\mathbb R}^N)}^2 = m \right\}, \quad G(\xi)=\int_0^\xi g(\tau)\, d\tau.$$