非线性标量场方程的非径向解

我们证明了关于非线性标量场方程 \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u = g(u)&\quad \hbox{in }\mathbb{R}^N,\; N\geq 3, u\in H^1(\mathbb{R}^N)& \end{array} \right. \end{equation*} 的新结果，其中非线性项 $g$ 满足 Berestycki 与 Lions 提出的一般假设。特别地，对任意 $N\geq 4$，我们在由非径向函数构成的 $H^1(\mathbb{R}^N)$ 子空间上于 Pohozaev 约束下极小化能量泛函，找到了至少一个非径向解。若进一步有 $N\neq 5$，则存在无穷多个非径向解。这些解均为变号解。该结果对 Berestycki 与 Lions 在 [5,6] 中提出的问题给出了肯定回答。此外，我们在拓扑流形上建立了临界点理论，使我们能够求解上述方程并处理新的椭圆问题。