双调和非线性标量场方程

我们证明了双调和非线性方程 $$\Delta^2 u = g(x,u)\qquad\text{in }\mathbb{R}^N$$ 弱解的 Brezis-Kato 型正则性结果，其中 $g:\mathbb{R}^N\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 为 Carathéodory 函数，$N\geq 5$。在 $g$ 在无穷远处具有一般次临界增长的前提下，正则性结果给出了基态解的存在性。我们还构想了一个新的双调和对数 Sobolev 不等式 $$\int_{\mathbb{R}^N}|u|^2\log |u|\,dx\leq\frac{N}{8}\log \Big(C\int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u|^2\,dx \Big), \quad\text{for } u \in H^2(\mathbb{R}^N), \; \int_{\mathbb{R}^N}u^2\,dx = 1,$$ 对常数 $0<C< \big(\frac{2}{\pi e N}\big)^2$，并刻画了其极小元。