黎曼流形上随机连续性方程的重整化

我们考虑如下随机连续性方程的初值问题：$$\partial_t \rho + \text{div}_h \left[\rho \left(u(t,x) + \sum_{i=1}^N a_i(x)\circ \frac{dW^i}{dt}\right)\right] = 0,$$ 其定义于带度量 $h$ 的光滑闭黎曼流形 $M$ 上，其中 Sobolev 正则速度场 $u$ 受到由 $M$ 上光滑空间依赖向量场 $a_i(x)$ 驱动的 Gaussian 噪声项 $\dot{W}_i(t)$ 扰动。我们的主要结果是：弱 ($L^2$) 解即为重整化解，亦即，若 $\rho$ 为弱解，则对任意“合理”函数 $S:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，非线性复合 $S(\rho)$ 亦为弱解。证明包含流形上张量场系统化的正则化过程、为简化与 Christoffel 符号相关的技术计算而便利选取的图册，以及若干 DiPerna-Lions 型交换子 $\mathcal{C}_\varepsilon (\rho,D)$（介于（一阶/二阶）几何微分算子 $D$ 与正则化手段之间，$\varepsilon$ 为缩放参数）。该工作与 Punshon-Smith (2017) 中的“欧氏”结果相关，揭示了噪声与非线性域对弱解动力学的一些结构性影响。