具有给定$L^2$范数的分数阶薛定谔方程的集中解

我们研究了一类具有非孤立临界点的退化俘获势下、带吸引相互作用的分数阶薛定谔方程的归一化$k$-峰解的存在性与局部唯一性。具体而言，应用有限维约化方法，我们首先得到$k$-峰集中解的存在性，并特别描述了化学势 $\mu$ 与吸引相互作用 $a$ 之间的关系。其次，在精确分析集中点与拉格朗日乘子后，我们利用局部Pohozaev恒等式、爆破分析以及与非局部算子 $(-\Delta)^s$ 相关的最大值原理，证明了具有给定 $L^2$ 范数的 $k$-峰解的局部唯一性。据我们所知，此前关于分数阶薛定谔方程激发态归一化解的结果极少。主要困难在于算子 $(-\Delta)^s$ 的非局部性质。首先，它使得ODE理论中的标准比较论证在我们的分析中失效。其次，由于涉及近似解的代数衰减，例如对拉格朗日乘子的估计变得更加微妙。此外，在研究相应的调和延拓问题时，我们构造了若干局部Pohozaev恒等式，且必须估计经典局部薛定谔问题中从未出现的几类积分。另外，在全文讨论中，我们需要区分 $p$ 的不同情形，即分别称为质量次临界、质量临界与质量超临界情形，这是由质量约束条件所致。另一困难来自势的临界点上沿不同方向的不同退化速率的影响。