具有一般非线性的薛定谔方程的归一化聚簇峰解

我们关注非线性薛定谔方程的归一化 $\ell$-峰解 $$-\varepsilon^2\Delta v+V(x)v=f(v)+\lambda v,\quad \int_{\mathbb{R}^N}v^2 =\alpha \varepsilon^N.$$ 这里 $\lambda \in \mathbb{R}$ 将作为拉格朗日乘子出现, $V$ 有一个局部极大点,且 $f$ 是满足非利普希茨性质 $\lim_{s\to0} f(s)/s=-\infty$ 的一般 $L^2$-次临界非线性项。我们构造的解的峰在 $\varepsilon\to0$ 时聚簇于 $V$ 的一个局部极大点附近。由于关于极限系统的唯一性或非退化性没有信息,当函数的局部质心远离 $V$ 的局部极大点时,应建立精细的下梯度估计。我们引入了一种新方法来获得该估计,这与 del Pino 和 Felmer (Math. Ann. 2002) 中使用高正则性特殊梯度流的思想,以及 Byeon 和 Tanaka (J. Eur. Math. Soc. 2013 \& Mem. Amer. Math. Soc. 2014) 中引入额外平移流的思想有显著不同。我们还给出了自治问题(即 $V\equiv0$ 的情形)的基态解存在性。基态能量不总是负的,此处基态能量的严格次可加性由严格凹性实现。