具有一般质量超临界非线性项的 Kirchhoff 方程的归一化正解

本文研究如下 Kirchhoff 问题的归一化解 $(\lambda_c, u_c)\in \R\times H^1(\R^N)$ $$-\left(a+b\int_{\R^N}|\nabla u|^2dx\right)\Delta u+\lambda u=g(u)~\hbox{in}~\R^N,\;1\leq N\leq 3$$ 满足归一化约束 $\displaystyle\int_{\R^N}u^2=c,$ 该问题出现在弹性弦的自由振动中。参数 $a,b>0$ 与质量 $c>0$ 均为给定。此处考虑的非线性项 $g(s)$ 非常一般且为质量超临界。在适当假设下，我们可证明对任意给定 $c>0$ 基态归一化解的存在性。经由爆破方法的细致分析，我们还澄清了当 $c\rightarrow 0^+$ 与 $c\rightarrow+\infty$ 时这些解的渐近行为。