带扰动项的临界分数阶非线性薛定谔方程的归一化基态

本文研究具有以下给定质量的临界分数阶 NLS 方程的归一化基态：\begin{equation*} \begin{cases} (-\Delta)^{s}u=\lambda u +\mu|u|^{q-2}u+|u|^{2_{s}^{\ast}-2}u,&x\in\mathbb{R}^{N}, \int_{\mathbb{R}^{N}}u^{2}dx=a^{2},\\ \end{cases} \end{equation*} 其中 $(-\Delta)^{s}$ 为分数阶拉普拉斯算子，$0<s<1$，$N>2s$，$2<q<2_{s}^{\ast}=2N/(N-2s)$ 为分数阶临界 Sobolev 指数，$a>0$，$\mu\in \mathbb{R}$。利用 Jeanjean 在 \cite{Jeanjean} 中的技巧，以及 \cite{Brezis} 中可找到的克服紧性缺失的标准方法，我们首先证明了关于 $L^{2}$ 次临界（或 $L^{2}$ 临界或 $L^{2}$ 超临界）扰动 $\mu|u|^{q-2}u$ 的若干存在与不存在结果，随后给出了当 $\mu\rightarrow 0^{+}$ 时上述所得基态的性态的一些结果。我们的结果在若干方向上推广并改进了已有结论。