半线性椭圆与抛物系统的新单调性公式

本文建立如下椭圆系统的一种一般单调性公式 $$\Delta u_i+f_i(u_1,...,u_m)=0 \quad {\rm in} \Omega, \label{0.1}$$ 其中 $\Omega\subset\subset \mathbb{R}^n$ 为有界域，$(f_i(u_1,...,u_m))=\nabla F(\vec{u})$，$F(\vec{u})$ 为关于 $\vec{u}=(u_1,...,u_m)$ 的给定光滑函数，$m,n$ 为两个正整数。我们还为如下抛物系统建立了一种新的单调性公式 $$\partial_t u_i-\Delta u_i-f_i(u_1,...,u_m)=0, in (t_1, t_2)\times \mathbb{R}^n,$$ 其中 $t_1<t_2$ 为两个常数，$(f_i(\vec{u}))$ 如上给定。我们的新单调性公式更关注非线性项的单调性。我们的观点是引入一个称为 $\beta$ 的指标来度量问题中非线性项的单调性。该指标在单调性公式的研究中对理解解爆破序列的行为非常有用。同时也给出了自由边界问题相应的单调性结果。